Las series geométricas son un tema fundamental dentro del mundo de las matemáticas, pero a menudo pueden resultar confusas para aquellos que no están familiarizados con ellas. En este artículo, exploraremos en profundidad qué es una serie geométrica y cómo se calcula. Además, veremos algunos ejemplos prácticos para ilustrar cómo se aplican estas series en la vida real. Si te interesa aprender más sobre este fascinante tema, sigue leyendo.

Una serie geométrica es una serie matemática que se forma al sumar los términos de una sucesión geométrica. Una sucesión geométrica es una secuencia de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón. Por ejemplo, la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, … es una sucesión geométrica con razón 2. Si sumamos los términos de esta sucesión, obtenemos una serie geométrica.

Fórmula de la serie geométrica

La fórmula de la serie geométrica es la siguiente:

Sn = a1(1 – rn) / (1 – r)

Donde:

  • Sn es la suma de los primeros n términos de la serie geométrica.
  • a1 es el primer término de la sucesión geométrica.
  • r es la razón de la sucesión geométrica.
  • n es el número de términos que se suman.

Ejemplo de serie geométrica

Si consideramos la sucesión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, … con razón 2, podemos obtener la suma de los primeros 5 términos de la serie geométrica aplicando la fórmula:

S5 = 1(1 – 25) / (1 – 2) = 31

Por lo tanto, la suma de los primeros 5 términos de la serie geométrica es 31.

Convergencia de la serie geométrica

La serie geométrica converge si la razón r es menor que 1. En este caso, la suma de los términos de la serie es finita. Si la razón r es mayor o igual que 1, la serie diverge y la suma de los términos de la serie es infinita.

Aplicaciones de la serie geométrica

La serie geométrica tiene diversas aplicaciones en matemáticas y en otras áreas como la física, la ingeniería y la economía. Por ejemplo, la serie geométrica se utiliza en la valoración de activos financieros, en la resolución de ecuaciones diferenciales y en la modelización de procesos estocásticos.

Conclusiones

La serie geométrica es una herramienta matemática fundamental que se utiliza en diversas áreas del conocimiento. La fórmula de la serie geométrica permite obtener la suma de los términos de una sucesión geométrica de manera eficiente. Además, la convergencia de la serie geométrica es un concepto importante que se utiliza en la resolución de problemas matemáticos y en la modelización de procesos en diversas áreas.

¿Qué es una serie geométrica?

Una serie geométrica es una sucesión de números en la que cada término es igual al anterior multiplicado por una constante llamada razón. Se puede representar mediante la fórmula:

a + ar + ar² + ar³ + … + ar^n

  • a: primer término de la serie
  • r: razón de la serie
  • n: número de términos de la serie

¿Cómo se calcula la suma de una serie geométrica finita?

Para calcular la suma de una serie geométrica finita se utiliza la fórmula:

Sn = a(1 – rn+1) / (1 – r)

  • Sn: suma de los n términos de la serie
  • a: primer término de la serie
  • r: razón de la serie
  • n: número de términos de la serie

¿Qué es una serie geométrica infinita?

Una serie geométrica infinita es una sucesión de números en la que cada término es igual al anterior multiplicado por una constante llamada razón, y que tiene un número infinito de términos. Se puede representar mediante la fórmula:

a + ar + ar² + ar³ + …

  • a: primer término de la serie
  • r: razón de la serie

¿Cómo se calcula la suma de una serie geométrica infinita?

Para calcular la suma de una serie geométrica infinita se utiliza la fórmula:

S = a / (1 – r)

  • S: suma de los términos de la serie
  • a: primer término de la serie
  • r: razón de la serie

¿Cuáles son las propiedades de las series geométricas?

Algunas de las propiedades de las series geométricas son:

  • La suma de una serie geométrica finita aumenta a medida que aumenta el número de términos.
  • La suma de una serie geométrica infinita converge a un valor finito si la razón es menor que uno, y diverge si la razón es mayor o igual a uno.
  • La suma de una serie geométrica infinita es igual a la razón dividida entre uno menos la razón.

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